在概率论中, 对定义在相同样本空间[1]的两个随机变量
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
，其联合分布是同时对于
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
的概率分布。
目录
1 离散随机变量的联合分布
2 连续随机变量的联合分布
3 独立变量的联合分布
4 多元联合分布
5 相关条目
6 外部链接
离散随机变量的联合分布
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对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为
P
r
(
X
=
x
&
Y
=
y
)
{\displaystyle Pr(X=x\,\&\,Y=y)}
，即
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
Y
=
y
|
X
=
x
)
P
(
X
=
x
)
=
P
(
X
=
x
|
Y
=
y
)
P
(
Y
=
y
)
.
{\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}
因为是概率分布函数，所以必须有
∑
x
∑
y
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
1.
{\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}
连续随机变量的联合分布
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类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}
，其中
f
Y
|
X
(
y
|
x
)
{\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}
和
f
X
|
Y
(
x
|
y
)
{\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}
分别代表
X
=
x
{\displaystyle X=x}
时
Y
{\displaystyle Y}
的条件分布以及
Y
=
y
{\displaystyle Y=y}
时
X
{\displaystyle X}
的条件分布；
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
和
f
Y
(
y
)
{\displaystyle f_{Y}(y)}
分别代表
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
的边缘分布。
同样地，因为是概率分布函数，所以必须有
∫
x
∫
y
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
1.
{\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}
独立变量的联合分布
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對於兩相互獨立的事件
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
及
P
(
Y
)
{\displaystyle P(Y)}
，任意x和y而言有离散随机变量
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
X
=
x
)
⋅
P
(
Y
=
y
)
{\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}
，或者有连续随机变量
p
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
p
X
(
x
)
⋅
p
Y
(
y
)
{\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}
。
多元联合分布
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2元联合分布可以推广到任意多元的情况
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
f
X
n
|
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
n
|
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
f
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
.
{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}
相关条目
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耦合 (概率)
外部链接
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Joint continuous density function. PlanetMath.
^ Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080 （Eng）. 请检查|access-date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)